Sonsuz Maymun Teoremi
Bir daktilonun tuşlarına sonsuz bir süre boyunca gelişigüzel basan bir maymunun Shakespeare'in tüm eserlerini neredeyse kesin olarak yazabileceğini ortaya koyan bir matematik teoremi var. Peki Beethoven 5. senfonisini yazarken bundan haberdar mıydı?
Size iki nota vereceğim: Sol ve Mi bemol. Piyanodaki tuşlardan biri beyaz, diğeri siyahla çalınan iki ses. Piyanodaki diğer tüm tuşlar kilitli olsaydı, elimizde sadece bu iki nota olsaydı, anlamlı bir melodi çıkarabilmek mümkün olur muydu? Deneyelim. Bu iki tuşa rastgele basalım.
Pek bir şey çıkaramadık galiba… Oysa Beethoven sadece bu iki notayı kullanarak 5. Senfonisinin o unutulmaz melodisini zihinlerimize kazımıştı.
Never gonna give you up Pardon, “rickroll”andık 🙂 Beethoven’ın iki notayla kafamıza kazıdığı meşhur melodi şuydu…
Sol – Sol – Sol – Mi bemol. 2 nota toplamda 4 kez kullanılıyor. Beethoven bu kombinasyonu tesadüfen bulmuş olabilir mi? Gelin tüm olasılıkları bir bilgisayar programında deneyelim.
İlk deneme başarısız. İkinci, üçüncü… derken onuncu ve on birinci denemeler de başarısız. Ancak 12. denemeye geldiğimizde bilgisayar doğru nota kombinasyonunu bulabildi. Beethoven bunu 12. denemesinde de bulmuş olabilir, ilk denemesinde de… İstatistiksel olarak Sol – Sol – Sol – Mi bemol kombinasyonunu bulabilmek için en fazla 16 deneme yapmak yeterli.
Matematiksel olarak bu konudaki en ilginç teoremlerden biri “Sonsuz maymun teoremi.” Bir daktilonun tuşlarına sonsuz bir süre boyunca gelişigüzel basan bir maymunun belirli bir metni (örneğin William Shakespeare’in tüm yapıtlarını) neredeyse kesin olarak yazabileceğini ortaya koyan bir matematik teoremi bu.
Shaekspeare’in tüm yapıtları! Yani 1300 sayfalık bu kitaptaki 37 eserin tümü. Bunların içinde 835997 tane kelime var, milyonlarca harf… Bir maymunun daktilo başına geçip, rastgele tuşlarına basarak bırakın tüm bu yapıtları, içlerinden sadece birini, mesela Hamlet’i yazma olasılığı ne biliyor musunuz? Göstereyim: 3.4 × 10183,946
Evet 3,4’ün ardından gelen 0’lara bakıyorsunuz şu anda. Ancak bu kadar sayıda 0’ı ekleyerek kesin sonuca ulaşabiliyoruz. Çünkü toplam 130.000 harften oluşan Hamlet’i tam olarak doğru sırayla yazma ihtimali bu: 3.4 × 10183,946
Bunu hesaplayabilmek için ileri seviye matematik bilgisi gerekmiyor. Yazı tura atmayı düşünün. Parayı attığınızda yazı gelme olasılığı nedir? %50. Ya yazı, ya da tura gelecek, ikide bir ihtimal.
Bunda da yazı tura yerine iki nota vardı. Sol ve Mi bemol. İlk notayı doğru tahmin edebilme olasılığı ikide bir. İkinci notada da aynı olasılık.
İlk iki notayı birlikte doğru tahmin edebilme olasılığına bakalım şimdi de… Toplam dört farklı kombinasyon yapabiliyoruz. Demek ki dörtte bir olasılıkla arka arkaya iki sol notasına basabiliriz.
Ek notalar çaldıkça başarı şansımız azalıyor. İşte aynı şey, dört notayla görsel olarak şu şekilde gösterilebilir. Deseni görmeye başladık mı?
Niye böyle oluyor? Çünkü iki olay istatistiksel olarak bağımsızsa yani olaylar birbirinin sonucunu etkilemiyorsa, bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir.
Bu durumda Beethoven’ın 5. senfonisinin ilk dört notalık melodisini rastgele yapacağımız toplam 16 denemede kesin olarak buluruz.
Fakat notaları bulmak yetmiyor. Dikkat ederseniz melodideki son nota diğerlerinin iki katı uzunluğunda. Dolayısıyla nota uzunluklarını da dikkate almalıyız. Her notayı hem kısa hem de uzun versiyonlarıyla hesaba katmalıyız.
Buna göre ilk notayı uzunluğuyla beraber doğru tahmin etme olasılığımız dörtte bir oldu. Dört notayı ardışık olarak doğru sıra ve uzunlukta bilebilmek için 256 deneme yapmalıyız.
Bilgisayar programı bunu 126. denemesinde bulmayı başardı. İlk denemede de bulabilirdi, 256. denemede de… Matematiksel olarak bu kesinlikte konuşabiliriz.
Fakat bir şeyi daha görmezden geliyoruz. Bu hesap piyanomuzda sadece bu iki nota olsaydı doğru olurdu… Batı müziğinde 12 nota var. Her birinin hem uzun hem de kısa versiyonlarını düşündüğümüzde 24 olasılıktan söz ederiz. İlk dört notayı doğru çalma ihtimali 331776’da bir olur.
Sol – sol – sol – Mi bemol’ü 331776 deneme sonucunda Beethoven’da bulabilir, biz de… Bir bilgisayar programı da bulabilir, bir maymun da…
Maymun demişken meşhur teoreme geri dönüp bunu daktiloya uyarlayalım. Daktiloda kaç tuş var? Kitap örneğimizden dolayı İngiliz alfabesindeki harf sayısı kadar olsun: 26. Hamlet’in ilk kelimesi neymiş? “Who’s there? Nay, answer me.” diye başladığına göre: Who. Maymunun bu kelimenin ilk harfini, yani W harfini yazma olasılığı 26’da 1 öyle değil mi? İkinci ve üçüncü harfler için de aynı olasılık var. Ancak bu üç harfi doğru sırayla yazmanın olasılığı bunların çarpımına eşit demiştik. Dolayısıyla bir maymunun “Who” kelimesini yazabilme olasılığı 26x26x26 = 17576’da 1’dir.
Bunlar algılayabilme sınırlarımızın içinde. Fakat harf sayısı arttıkça olasılıklar üstel olarak azalır. Bir maymunun sadece Hamlet’in sadece ilk cümlesini yazma olasılığına bakın şimdi. Noktalama işaretlerini, boşlukları, büyük-küçük harfleri ihmal ettiğimizde “Who’s there? Nay, answer me.” cümlesi 20 harflik şöyle bir ifadeye dönüşüyor: “whostherenayanswerme” Matematiksel olarak bunu yazma olasılığı 2620 = 19,928,148,895,209,409,152,340,197,376 yaklaşık yirmi oktilyonda bir.
Bu teoremde geçen maymun ve Shakespere’in eserleri aslında birer değişken, bunlara takılmamak lazım. Ama pek çok kişi o kısma takılıyor nedense.
Bakın dünyanın en ünlü podcast sunucularından biri Joe Rogan ne diyor.
Never gonna give you up Pardon 🙂
Sonsuz sayıda maymuna daktilo verseniz Shakespere’in eserlerini yazabilir diyorlar. Bu doğru mu?
Evet, doğru, çünkü sonsuz sayıda maymundan söz ediyoruz.
Sonsuz sayıda bile olsalar bence başaramazlar. Maymun onlar 🙂
Mesele maymun olup olmaması değil. Gözlemlenebilir evrendeki protonların sayısının 1080 olduğu tahmin ediliyor. Maddeyi oluşturan tüm parçacıklar bunlar. Bunların hepsi maymun olsa ve her maymun evrenin yaşının yani 1020 saniyenin 100 katı bir süre boyunca saniyede 1000 harf yazabilse bile ortaya çıkacak metnin kısa bir kitabın aynısı olma olasılığı sıfıra yakın.
Bu teorem, çok büyük ama sonlu bir sayı hayal ederek sonsuzluk hakkında akıl yürütmenin risklerine dikkat çekiyor aslında. Evet bir maymunun Shakespeare’in Hamlet’i gibi bir yapıtı tümüyle aynı biçimde yazabilme olasılığı o denli küçük ki, bu durumun evrenin yaşı ölçeğindeki bir sürede gerçekleşme şansı önemsiz hale geliyor ama yine de sıfır değil.
Peki ya sonsuz sayıda maymun olsaydı? Az önce izlettiğim podcast’in sunucusu Joe Rogan’ın karşısındaki konuk fizikçi Brian Cox. Daha önce bu kanalda kendisine yer verdiğim bilim insanlarından biri. O buna şöyle yanıt veriyor:
Eğer evren sonsuzsa (ki olabilir), aslına bakarsanız pek çok şekilde evreni sonsuz olarak düşünebiliriz, o zaman böyle bir şey mümkün olabilir.
Biliyorum kafamız biraz karıştı. Bu karışıklığı gidermek için biz yine müziğin dünyasına dönelim.
Az önce gösterdiğim Beethoven’ın 5. Senfonisinin girişini bilgisayara hesaplatan kişiler 13 Nisan 2020’de bir deneye başlamışlar. Bu deney hala sürüyor. Simülasyonu hızlandırmak için bilgisayara her dakika milyonlarca rastgele deneme yaptırıyorlar. Bilgisayar her yeni parçanın melodisini bulduğunda, onun uzunluğunu, nota süresi seçeneklerini veya piyano tuşlarının sayısını çoğaltarak karmaşıklığı kademeli olarak artırıyorlar.
Bakın şimdiye kadar elde ettikleri sonuçlar şöyle… Bilgisayar;
Dr. Dre’nin melodisini 61713. denemede bulmuş.
Guns and Roses’ın gitar melodisini 1443826. denemede bulmuş.
Star Wars’un İmparatorluk Marşı’nı deney başladıktan 1 hafta sonra 1308266928. denemede bulmuş.
Deney başladıktan 1,5 yıl sonra 2022’ye girerken Salt-N-Pepa’nın Push It melodisini de keşfetmiş. Bu melodiyi oluşturan notaların doğru sırayla ve doğru uzunlukta basılma olasılığı 4 trilyon 049 milyar 565 milyon 169 bin 664’te bir. Fakat şans eseri daha 358 milyar 144 milyon 176 bin 386 denemede doğru kombinasyonu yakalamış. Bunu daha ilk saniyede yaptığı ilk denemede de bulabilirdi. Olasılıklar evreninin en sonunda yani yıllar sonra da bu sonuca ulaşabilirdi.
Nokia cep telefonlarının meşhur bir melodisi var ya… Bilgisayarın bunu rastgele çalmayı bulabilmesi için gereken süre 30334 asır.
Bilgisayar siz bu videoyu izlerken hala yeni melodileri keşfetmek için denemeler yapmaya devam ediyor. Ben bu videoyu hazırlarken 600 günden daha uzun bir süredir bu hesaplamalara devam ediyordu.
Asla vazgeçmeden. Bizi yüzüstü bırakmadan yeni bir melodiyi keşfetmeye çalışıyor. Bilgisayarın şu anda hesaplamaya çalıştığı melodi ne biliyor musunuz? Kesin bir yerlerden duymuşsunuzdur.
Hani sözleri de bu olasılık hesaplamalarıyla pek uyumlu o şarkının…
Senden asla vazgeçmeyeceğim
Seni asla yüzüstü bırakmayacağım
Seni asla oyalamayacağım ve terk etmeyeceğim
Hala bulamadınız mı? Aşk olsun O zaman yine yeniden “rickroll” 🙂
Hayatınızı Değiştirecek Bir Alışkanlık: Güne Net Bir Amaç Doğrultusunda Planlı Başlamak
İçe Dönük ve Yalnız Kalmaktan Hoşlananlar İçin 6 Mükemmel Hobi
Yarının Süper Üretken Bir Gün Olması İçin Bugün Yapılması Gereken 3 Akıllı Şey
Çalkantılı Zamanlarda İyi Olmanız Gereken 2 Şey | Antik Filozoflardan Dersler
Richard Feynman’ın Hayata, Öğrenmeye ve Düşünmeye Yönelik Eşsiz Yaklaşımı
Etkili Düşünmenin Altın Kuralları | Descartes ve Darwin’den Dersler
Bilgi Edinmek için Okuyorsanız, Analitik Okumayı Öğrenmelisiniz