Bazı Matematikçiler “Sonsuzluk” Kavramına İnanmıyor
- Hüseyin GÜZEL
- 10 hours ago
- 4 min read
Sizce “Sonluluk” gerçek dünyayı tanımlayabilir mi? İnsanlığı binlerce yıldır meşgul eden bir soru var: Sonsuzluk var mıdır? 2.300 yıldan uzun bir süre önce, filozof Aristoteles bu kavramı ikiye ayırdı: potansiyel ve gerçek sonsuzluk. Potansiyel sonsuzluk, tekrar eden süreçlerle ilgili soyut bir fikir. Örneğin, bir önceki sayıya sürekli olarak 1 ekleyerek sonsuza kadar saymak, Aristoteles’e göre potansiyel sonsuzluğu temsil eder. Ancak Aristoteles, gerçek sonsuzlukların var olamayacağını savundu.
Çoğu matematikçi, 19. yüzyılın sonuna kadar sonsuzluklara pek önem vermedi. Bu tuhaf niceliklerle nasıl başa çıkacaklarından emin değillerdi. Sonsuzluk artı 1 mi, yoksa sonsuz çarpı sonsuz mu elde edilir? Ardından Alman matematikçi Georg Cantor bu şüphelere son verdi. Kümeler kuramıyla, ölçülemez olanla başa çıkmayı mümkün kılan ilk matematiksel kuramı kurdu. O zamandan beri sonsuzluklar matematiğin ayrılmaz bir parçası olmuştur. Okulda, her biri sonsuz büyüklükte olan doğal veya reel sayı kümelerini öğreniriz ve pi sayısı ve 2'nin karekökü gibi sonsuz sayıda ondalık basamağa sahip irrasyonel sayılarla karşılaşırız.
Ancak, sözde sonlucu olan ve bugün bile sonsuzluğu reddeden bazı insanlar var. Evrenimizdeki her şey -hesaplama kaynakları da dahil- sınırlı göründüğü için, sonsuzlarla hesaplama yapmak onlar için mantıklı değil. Nitekim bazı uzmanlar, yalnızca sonlu sayıda inşa edilebilir niceliklere dayanan alternatif bir matematik dalı önermişlerdir. Hatta bazıları, dünyamızı tanımlamak için daha iyi teoriler bulma umuduyla bu fikirleri fiziğe uygulamaya bile çalışmaktadır.
Bu makale için hazırladığımız podcast'i Spotify uygulamasından dinleyebilirsiniz...
Kümeler Kuramı ve Sonsuzluk
Modern matematik, adından da anlaşılacağı gibi kümeler kuramına dayanır. Bir kümeyi, içine sayılar, fonksiyonlar veya başka varlıklar koyabileceğiniz bir “torba” gibi düşünebilirsiniz.
Farklı kümelerin büyüklüklerini karşılaştırmak için bu torba benzetmesini kullanabiliriz. Eğer bir torbanın diğerinden daha büyük olup olmadığını anlamak istersek, her iki torbadan da nesneleri aynı anda, teker teker çıkarırız. Hangi torbanın önce boşaldığına bakarak hangisinin daha az dolu olduğunu bulabiliriz. Bu yöntemle, kümelerin büyüklüklerini karşılaştırmak mümkün olur.
Bu yöntem ilk bakışta şaşırtıcı görünmeyebilir; hatta küçük bir çocuk bile temel prensibi anlayabilir. Ancak Cantor, bu mantığın sonsuz büyüklükteki nicelikleri karşılaştırmak için de kullanılabileceğini fark etti.
Kümeler kuramını kullanarak, farklı boyutlarda sonsuzlukların var olduğu sonucuna vardı. Bu, sonsuzluğun her zaman aynı olmadığı anlamına geliyordu. Yani, bazı sonsuzluklar diğerlerinden daha büyüktür.
Matematikçiler Ernst Zermelo ve Abraham Fraenkel, 20. yüzyılın başlarında kümeler kuramını kullanarak matematiğe sağlam bir temel oluşturdular. O dönemde geometri, analiz, cebir ve olasılık gibi farklı matematik dalları birbirinden bağımsızdı. Fraenkel ve Zermelo, günümüzde tüm matematiğin dayandığı, aksiyom adı verilen dokuz temel kuralı formüle ettiler.
Aksiyomlar ve Sonsuzluk Tartışması
Bu aksiyomlardan biri, “boş kümenin varlığı”dır. Bu, matematikçilerin içinde hiçbir şey olmayan bir kümenin, yani boş bir torbanın var olduğunu kabul ettiği anlamına gelir ve bu fikir genellikle sorgulanmaz.
Ancak bir başka aksiyom, sonsuz büyüklükteki kümelerin de var olduğunu doğrular. İşte sonlucu matematikçilerin karşı çıktığı nokta tam da burasıdır. Onlar, sonsuzluk aksiyomunu kullanmadan, yalnızca sonlu miktarlara dayanan bir matematik sistemi kurmayı amaçlarlar.
Sonlu Matematiğin Rüyası
Sonlucuların sonsuzluğu reddetme nedenleri, sadece gerçek dünyadaki sınırlı kaynaklar değildir. Onları rahatsız eden bir diğer nokta, kümeler kuramından çıkan, sezgiye aykırı sonuçlardır.
Örneğin, Banach-Tarski paradoksu buna iyi bir örnektir. Bu paradoksa göre, bir küreyi belirli parçalara ayırıp, sonra bu parçaları yeniden birleştirerek orijinaliyle aynı büyüklükte iki yeni küre oluşturabilirsiniz. Matematiksel olarak bu durum tutarlı olsa da, fiziksel dünyada böyle bir şeyin mümkün olmaması, sonlucular için kümeler kuramının gerçeklikten koptuğunun bir göstergesidir.
Sonlucular, dokuz aksiyomun bu tür sonuçlara izin vermesi durumunda, aksiyomlarda bir sorun olduğunu savunurlar. Aksiyomların çoğu görünüşte sezgisel ve apaçık olduğundan, sonlucular yalnızca kendi görüşlerine göre sağduyuya aykırı olanı, yani sonsuz kümeler aksiyomunu reddederler.
Sonlucuların Temel Görüşü
Onların görüşleri şu şekilde özetlenebilir:
“Bir matematiksel nesne, ancak ve ancak sonlu sayıda adımla doğal sayılardan oluşturulabiliyorsa var kabul edilir.”
Bu mantığa göre, 2′ninkarekökü gibi irrasyonel sayılar bile, sonsuz toplamlardan oluştuğu için sonlu matematiğin bir parçası olamazlar.
Sonlu Bir Dünya mı?
Dışlanmış orta nokta teoremi (“tertium non datur”) olmadan birçok matematiksel ispat zorlaşır veya imkansız hale gelir. Bu teorem, bir önermenin ya doğru ya da yanlış olduğunu varsayar, üçüncü bir olasılığın olmadığını söyler. Birçok matematiksel ispat, bu temel ilkeye dayanır.
Bu nedenle, sonsuzluk kavramını reddeden ve sonlucu bir yaklaşımı benimseyen matematikçilerin sayısı oldukça azdır. Sonsuzlukları dışlamak, matematiği daha karmaşık ve sınırlı hale getirir.
Nicolas Gisin gibi Cenevre Üniversitesi’nden bazı fizikçiler, sonlucufelsefeyi benimsemiştir. Gisin, sonlu sayılarla tanımlanan bir dünyanın evrenimizi modern matematikten daha iyi açıklayabileceğini umuyor.
Gisin’in düşüncesi, uzay ve zamanın sadece sınırlı miktarda bilgi içerebileceği fikrine dayanır. Bu nedenle, sonsuz uzunlukta veya sonsuz büyüklükteki sayılarla işlem yapmanın anlamsız olduğunu savunuyor; çünkü evrende bu sonsuz niceliklere yer yoktur.
Bu çabalar henüz başlangıç aşamasında olsa da, sonsuzluk yerine sonluluğu temel alan bu yaklaşım oldukça heyecan verici.
Fiziğin Çıkmazı ve Yeni Yaklaşımlar
Modern fizik, evrenin en temel soruları (örneğin, evrenin nasıl var olduğu veya temel kuvvetlerin nasıl birleştiği) karşısında bir çıkmazla karşı karşıya gibi görünüyor. Bu nedenle, farklı bir matematiksel başlangıç noktası denemek mantıklı olabilir. Temel varsayımları değiştirerek veya ortadan kaldırarak matematiğin hangi yeni yollara açılabileceğini keşfetmek büyüleyicidir.
Sonuçta, matematiğin sonlu dünyasında bizi ne gibi sürprizlerin beklediğini kim bilebilir?
Nihayetinde mesele, bir inanç meselesine dönüşüyor: Sonsuzluğa inanıyor musunuz, inanmıyor musunuz? Bu sorunun cevabını herkesin kendisi vermesi gerekiyor…
Bu makale ilk olarak Spektrum der Wissenschaft’ta yayınlanmıştır.
Bu makale için hazırladığımız Youtube sunum videosunu izleyebilirsiniz...
Comments