Sonsuzluk Kategori Teorisi, Matematiğe Kuşbakışı Bir Bakış Sunuyor
- Hüseyin GÜZEL
- 2 hours ago
- 15 min read
Matematikçiler, kategori teorisini sonsuz boyutlara genişleterek matematiksel kavramlar arasında yeni bağlantılar ortaya çıkardı… Amerika’nın kuzeydoğusunda, serin bir sonbahar günüydü, üniversite üçüncü sınıftayken, adımlarımı bir metro girişine yönlendirmiştim. Tam o sırada, gözüme bir matematik problemi takıldı. Bir adam, duvara karaladığı birkaç bilmecenin yanında duruyordu ve içlerinden biri zihnimi ele geçirdi: Hayali bir cetvel ve pergel kullanarak, hacmi verilen başka bir küpün tam iki katı olan bir küpün çizimini istiyordu.
Olduğum yerde çakılıp kaldım. Bu problemle daha önce karşılaşmıştım. Aslında bu, kökeni iki bin yıldan da eskiye dayanan ve Plutarkhos tarafından Platon’a atfedilen kadim bir meydan okumaydı. Elinizde yalnızca bir cetvel (bir doğruyu istediğiniz yöne uzatmak için) ve bir pergel (merkezi belirli bir noktada olan ve herhangi bir yarıçapa sahip bir daire çizmek için) varken, bu bulmacanın kilit noktası şuydu: ortaya çıkan çizimdeki her noktanın veya uzunluğun ya en başta verilmiş olması ya da bilinen bilgilerden yola çıkılarak oluşturulabilmesi gerekiyordu.
Bu blog yazısı için hazırladığımız podcast'i Spotify üzerinden dinleyebilirsiniz...
İşte onun temel fikri: Elimizde bir başlangıç noktası ve 1 birim uzunluğunda bir doğru parçası varsa, bir sayı doğrusu üzerindeki tüm rasyonel sayıları (yani koordinatları rasyonel olan noktaları) sadece cetvel ve pergel kullanarak oluşturmak nispeten kolaydır. Tabii ki, matematikçilerin sık sık yaptığı gibi, sınırlı bir zamanda sonsuz sayıda noktayı çizmenin imkansızlığını bir kenara bırakırsak.
Wantzel’in gösterdiği şey şuydu: Sadece cetvel ve pergel kullanırsanız, oluşturduğunuz her yeni nokta, ax²+bx+c=0 şeklinde bir ikinci dereceden (kuadratik) polinomun çözümü olmak zorundadır. Burada a,b ve c katsayıları, daha önce oluşturduğunuz noktalar arasından gelir.
Ancak, ∛2 (iki’nin küpkökü) noktası ise x³−2=0 şeklindeki kübik (üçüncü dereceden) bir polinomun çözümüdür. Wantzel, Galois’nın “alan uzantıları” teorisini kullanarak, ikinci dereceden denklemlerin çözümüyle asla indirgenemez bir kübik polinomun çözümüne ulaşamayacağınızı kesin olarak kanıtladı. Basitçe ifade etmek gerekirse, 2'nin hiçbir kuvveti 3'ü tam olarak bölemez ve bu, imkansızlığın matematiksel ispatını oluşturur.
Bu gerçeklerle donanmış bir halde, sokaktaki adamla tartışmaya girmekten kendimi alamadım. Tahmin edebileceğiniz gibi, probleminin neden çözülemeyeceğini açıklamaya çalışmam hiçbir işe yaramadı. Adam, diplomamın beni dar görüşlü ve ‘kalıpların dışında düşünemeyen’ biri yaptığını iddia etti. Tartışma uzayınca, en sonunda kız arkadaşım beni oradan kurtarmayı başardı ve yolumuza devam ettik.
Ancak, aklımı kurcalayan ilginç bir soru hâlâ zihnimde yer etmişti: Üniversite üçüncü sınıf öğrencisi olarak, Galois cisimleri gibi soyut sayı sistemlerini, sadece birkaç hafta içinde nasıl bu kadar rahat kullanabilir hale gelmiştim? Bu konular, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler ve Carl Friedrich Gauss gibi matematik devlerinin bile hayal edemeyeceği simetri grupları, polinom halkaları ve nice keşiflerle dolu bir dersin sonuna denk geliyordu. Peki, matematikçiler her yeni nesil lisans öğrencisine, bir önceki neslin uzmanlarını bile hayrete düşüren buluşları bu kadar hızlı bir şekilde nasıl öğretebiliyordu?
Cevap, matematikteki son gelişmelerde gizli. Özellikle de giderek artan soyutlama seviyeleriyle tüm alana ‘kuşbakışı bir bakış’ sağlayan bir alanda: Kategori Teorisi. Bu, farklı matematiksel nesnelerin nasıl ‘aynı’ kabul edilebileceğini açıklayan bir matematik dalıdır. Temel ilkesi şudur: Ne kadar karmaşık olursa olsun, herhangi bir matematiksel nesne, kendisiyle benzer nesneler arasındaki ilişkilerle tamamen tanımlanır.
İşte Kategori Teorisinin farkı: Bu teori sayesinde, genç matematikçilere artık sadece tek bir alana özgü, kural ezberletmek yerine, matematiğin tamamına uygulanabilen evrensel kurallarıöğretiyoruz. Bu yaklaşım, onların bireysel yasalara takılıp kalmasını engelliyor ve açıkçası büyük resmi görmelerini sağlıyor.
Matematik gelişmeye devam ettikçe, matematikçilerin iki şeyin ne zaman “aynı” kabul edilebileceğine dair algısı da genişledi. Son birkaç on yılda, ben ve diğer birçok araştırmacı, bu yeni ve genişletilmiş “benzerlik” kavramını anlamlandırmak için kategori teorisinin ufuklarını genişleten bir alan üzerinde çalışıyoruz.
Bu yeni kategori türü, yani sonsuzluk kategorileri (∞-kategoriler), kategori teorisini sonsuz boyutlara taşıyor. ∞-kategorilerinin dili, matematikçilere nesneler arasındaki ilişkilerin geleneksel kategorilerle tanımlanamayacak kadar karmaşık olduğu problemleri incelemek için güçlü araçlar sunuyor. Bu “sonsuza kadar uzaklaşma”perspektifi, hem eski kavramlara yeni bir pencereden bakmamızı hem de yepyeni keşiflere giden yolu açıyor.
Sonsuzluk Kategorileri
Tanıdığım diğer birçok matematikçi gibi, benim de matematiğe olan ilgim kısmen zayıf hafızamdan kaynaklanıyor.
Bu durum, lise matematiğini ezberlenmesi gereken formüllerle dolu bir ders olarak hatırlayanları şaşırtabilir; akla hemen o meşhur trigonometrik özdeşlikler gelir. Ancak beni rahatlatan şey, en sık kullanılan formüllerin bile tek bir denklemden, yani sin²θ+cos²θ=1'den türetilebileceği gerçeğiydi.
Üstelik bu denklemin kendisi de son derece zarif bir geometrik açıklamaya sahip: Pisagor teoreminin, hipotenüsü 1 ve bir açısı θ olan bir dik üçgene uygulanması. Matematik, bu tür temel ve basit gerçeklerden yola çıkarak karmaşık yapıların inşa edildiği bir dünyadır.
Matematikte her şeyin “mantıklı” olduğu ve ezber gerektirmediği bu ideal vizyon, ne yazık ki üniversite düzeyinde bir noktada sarsılır. Öğrenciler bu aşamada, son birkaç yüzyılda ortaya çıkmış olan matematiksel nesnelerin çeşitliliğiyle tanışır.
“Gruplar,” “halkalar” ve “alanlar” gibi kavramlar, cebir adı verilen matematik alanına aittir. Bu kelime, ismini dokuzuncu yüzyılda yaşamış Fars matematikçi ve astronom Muhammed bin Musa el-Harezmi’nin “Düzeltme ve Dengeleme Bilimi” olarak çevrilen kitabından almıştır. Cebir, sonraki bin yıl boyunca polinom denklemlerinin çözümlerini incelemekten, günümüzdeki soyut sayı sistemlerini incelemeye doğru evrildi.
Örneğin, x²+1=0 denklemini hiçbir gerçek sayı sağlamadığı için, matematikçiler sanal bir sayı olan i’yi ekleyerek ve i²+1=0 koşulunu dayatarak yeni bir sayı sistemi (bugün karmaşık sayılar olarak bilinir) oluşturdular.
Cebir, bir matematik lisans programının temel taşlarından yalnızca biridir. Bu yolculuk, uzayın soyut dünyasını inceleyen topolojiden, gerçek fonksiyonların hesabıyla başlayan ve olasılık uzayları, karmaşık manifoldlar gibi daha egzotik alanlara uzanan analizekadar devam eder.
Her biri kendi dili, kendi kuralları ve kendi derinlikleri olan bu kadar çok farklı alanı bir araya getirmek, bir öğrenci için nasıl mümkün olabilir? Tüm bu dalları birbirine bağlayan ortak bir dil var mıdır?
Matematikteki en paradoksal fikirlerden biri, soyutlama yoluyla basitleştirmedir. Eugenia Cheng’in de belirttiği gibi, “soyutlamanın güçlü bir yönü, bazı ayrıntıları unuttuğunuzda birçok farklı durumun aynı hale gelmesidir.”
Bu fikir, modern cebirin 20. yüzyılın başlarında ortaya çıkışıyla hayat buldu. O dönemde matematikçiler, polinom denklemlerinin çözümlerinden geometrik şekillerin konfigürasyonlarına kadar pek çok farklı alanda ortaya çıkan cebirsel yapıların aslında ortak bir paydada buluştuğunu fark ettiler.
Bu ortak paydaları yakalamak için “aksiyomlar” adı verilen tanımlayıcı kurallar belirlediler. Bu sayede, gruplar, halkalar ve cisimler gibi soyut yapılar, belirli örneklerin iskeletine bağlı kalmadan, sadece sahip oldukları özellikler üzerinden incelenmeye başlandı.
Bu soyutlama seviyesi, matematiksel nesnelerin doğasına dair derin felsefi soruları da beraberinde getirdi. Ünlü matematikçi John Horton Conway, bu nesnelerin ilginç ontolojisi hakkında şöyle düşünmüştür: “Var olduklarına şüphe yok, ancak onları düşünmeden dürtemezsiniz. Bu oldukça şaşırtıcı ve hayatım boyunca matematikçi olmama rağmen hâlâ anlayamıyorum. Nesneler gerçekten orada olmadan nasıl orada olabilirler?”
Ancak, gerçekten orada olmadan var olabilen bu matematiksel nesneler dünyası, bir sorun yarattı: Öyle bir evren ki, herhangi bir insanın kavrayabileceğinden çok daha büyüktü.
Bu kaosu anlamlandırmak ve bir düzen getirmek için, 20. yüzyılın başlarında matematikçiler Evrensel Cebir adı verilen bir yaklaşım geliştirdiler. Bu yaklaşım, temel olarak bir “küme” (sayılar veya simetriler gibi bir koleksiyon) ile bu küme üzerinde tanımlanan işlemlerden (toplama ve çarpma gibi) oluşuyordu. Farklı kurallar (aksiyomlar) seçilerek, gruplar, halkalar ve cisimler gibi tanıdık cebirsel yapılar sistemli bir şekilde inşa edilebiliyordu.
Ne var ki, bu yöntemle ulaşılan yapılar, sonsuz olasılıklar dizisinin yalnızca çok küçük bir kısmını temsil ediyordu.
Her yeni soyut matematiksel nesnenin ortaya çıkması, kendi karmaşıklığını da beraberinde getirir.
Ancak bu sorunun şaşırtıcı bir çözümü var: daha da ileri bir soyutlama düzeyi. Bu yaklaşım, tam olarak ne tür nesnelerden bahsettiğimizi belirtme gereksinimi duymadan, çok çeşitli matematiksel yapılar hakkında aynı anda teoremler kanıtlamamızı sağlıyor.
Yani, basitleştirmeyi, paradoksal bir şekilde, daha fazla soyutlamayla elde ediyoruz.
1940'larda Samuel Eilenberg ve Saunders Mac Lane tarafından ortaya atılan Kategori Teorisi, bu soyut karmaşıklığa bir çözüm sundu. Başlangıçta “doğal eşdeğerlik” terimine kesin bir tanım getirmek için geliştirilmiş olsa da, matematiğin tüm dalları hakkında evrensel olarak düşünmenin bir yolunu da sağladı.
Eilenberg ve Mac Lane’in diliyle, her matematiksel nesne türünün kendi kategorisine ait olduğunu söyleyebiliriz. Bir kategori, nesnelerdenoluşan bir koleksiyon ve bu nesneler arasındaki ilişkileri gösteren oklardan (dönüşümlerden) oluşur. Örneğin, doğrusal cebirde soyut vektör uzayları nesne, doğrusal dönüşümler ise oklar olarak kabul edilir.
Bu oklar, tıpkı fonksiyonlar gibi bileşik olabilir; yani bir dönüşümün sonucunu başka bir dönüşüme uygulayabilirsiniz. Bu bileşke işlemi iki temel kurala uyar:
Birleşimcilik (Associativity): Okları birleştirdiğinizde, gruplama şekliniz sonucu değiştirmez. h∘(g∘f)=(h∘g)∘f
Birim (Identity): Her nesnenin, kendisine uygulandığında hiçbir değişiklik yapmayan özel bir “özdeşlik dönüşümü” vardır. Bu dönüşüm, genellikle 1B ile gösterilir ve g∘1B=g ile 1B∘f=f özelliklerine sahiptir.
Kategori teorisi, karşısında öğrenilecek sonsuz sayıda nesne bulan o şaşkın öğrenciye işte böyle yardımcı olur.
Evrensel cebirin kurallarıyla tanımladığınız yapılar ne kadar farklı görünse de, onları barındıran kategoriler aslında birbirine şaşırtıcı derecede benzerdir. Kategori teorisi, bu benzerliği ifade etmek için evrensel bir dil sunar.
Bu sayede, bir öğrenci tek tek nesnelerin ayrıntılarına boğulmak yerine, farklı alanlar arasındaki ortak yapıyı ve derin bağlantıları görmeye başlar. Böylece, tüm matematiksel evren, birbirinden bağımsız gezegenler yerine, ortak bir haritaya sahip bir galaksi gibi görünür hale gelir.
Yeterli deneyime sahip matematikçiler, yeni bir cebirsel yapı türüyle karşılaştıklarında ne beklemeleri gerektiğini sezgisel olarak bilebilirler. Bunun nedeni, günümüz ders kitaplarına da yansıdığı gibi, gruplar, halkalar ve vektör uzayları gibi teorilerin aslında paralel bir biçimde ilerlemesidir.
Bu paralellik, sadece cebirle sınırlı değildir. Öğrencilerin topoloji veya analiz derslerinde karşılaştıkları kategoriler arasında da daha gevşek olsa bile benzerlikler bulunur. Bu ortak kalıpları görmek, yeni materyali daha hızlı özümsemelerini ve her bir alt disiplinin kendine özgü konularına daha fazla odaklanmalarını sağlar.
Ancak bu yetenek, sadece öğrenme hızını artırmakla kalmaz. Matematikteki en büyük atılımlar, genellikle daha önce tamamen bağlantısız olduğu düşünülen alanlar arasında kurulan yeni ve şaşırtıcı benzetmelerden ilham alır.
Somut matematiksel yapılardan aksiyomatik sistemlere ve son olarak da kategorilere uzanan bu soyutlama yolculuğu, yepyeni bir zorluğu beraberinde getiriyor: Bir şeyin diğeriyle “aynı” olduğunu söylemenin ne anlama geldiği artık o kadar da açık değil.
Bu durumu somutlaştırmak için bir örneğe bakalım: soyut bir simetri koleksiyonu olan gruplar. Chicago Üniversitesi’nden matematikçi Amie Wilkinson’ın sevdiği bir tanıma göre, bir grup, bir nesneyi orijinal konumuna yakın bir yere getiren döndürme veya çevirme gibi “hareketler” olarak düşünülebilir.
Bir tişörtün simetrilerini inceleyerek bu soyut kavramı somutlaştırabiliriz. Bir simetri, tişörtü giydiğinizde onu temel olarak aynı pozisyonda bırakan bir “hareket”tir. İşte bu hareketlerden dört tanesi:
Özdeşlik Hareketi: Tişörtü normal şekilde giymek. Bu, hiçbir şey yapmamakla aynıdır.
180 Derece Döndürme: Tişörtü boynunuzdan çıkarmadan 180 derece döndürerek kollarınızı zıt kol deliklerinden geçirmek. Sonuç olarak tişört düz kalır ancak şimdi ters giyilmiştir.
Ters Çevirme: Tişörtü tamamen çıkarıp içini dışına çevirmek ve tekrar giymek.
Birleşik Hareket: İkinci ve üçüncü hareketleri birleştirmek.
Bu dört hareketin her biri birer simetri sayılır, çünkü her biri tişörtü temelde başlangıçtaki pozisyonuna benzer bir hale getirir. Bu dört hareketin oluşturduğu grubun özel bir özelliği vardır: 2. ve 3. hareketleri hangi sırayla yaparsanız yapın, sonuç aynıdır. Bu, tüm gruplarda olmayan bir özelliktir ve bu grubun değişmeli (Abelian) olduğunu gösterir.
Diğer bir grup örneği de, bir yatağın simetrilerini tanımlayan ”yatak çevirme grubu”dur. Bir kişi yatağı yukarıdan aşağıya veya önden arkaya çevirebilir, bu hareketlerin bir kombinasyonunu yapabilir veya hiçbir şey yapmayabilir.
Fiziksel olarak bir tişörtle bir yatağın pek bir ortak noktası olmasa da, bu iki simetri grubunun aynı “şekle” sahip olduğu hissi vardır. Bu “eşit şekil” olma durumu, matematiksel olarak izomorfizm olarak adlandırılır. Etimolojik olarak Yunanca “eşit” anlamına gelen isos ve “biçim” anlamına gelen morphe kelimelerinden türemiştir.
İki grup, iki temel koşulu sağladıkları için izomorftur:
Her iki gruptaki hareket sayısı aynıdır (bu durumda dört).
En önemlisi, tişört grubundaki her hareketi, yatak çevirme grubundaki bir hareketle birebir eşleştirebilirsiniz. Bu eşleşme, hareketlerin birleşimlerini de korur. Yani, tişört grubunda iki hamleyi peş peşe yaptığınızda ulaştığınız sonuç, yatak grubunda karşılık gelen hamleleri aynı sırayla yaptığınızda elde ettiğiniz sonuçla birebir aynıdır.
İzomorfizm kavramı, herhangi bir kategoride tanımlanabilir. Bu sayede, bu güçlü kavramı cebirden topolojiye, matematiğin farklı bağlamları arasında kolayca taşıyabiliriz.
Bir kategorideki A ve B nesneleri arasındaki izomorfizm, aslında birbirinin tersi olan iki dönüşümle tanımlanır: f:A→B ve g:B→A. Bu dönüşümlerin bileşkesi, ilgili özdeşliklere eşittir: g∘f=1A ve f∘g=1B. Kısacası, bir dönüşümü yapıp ardından tersini uyguladığınızda, başladığınız yere geri dönersiniz.
Bu soyut tanımı somutlaştırmak için, topolojik uzaylar kategorisinebakalım. Bu kategoride, izomorfizm sürekli fonksiyonların bir çiftiyle temsil edilir. Örneğin, pişmemiş bir donut’ı kahve fincanı gibi bir şekle dönüştürebilirsiniz. Bunu, hamuru yırtmadan esneterek yapmanız gerekir. Bu deformasyon sırasında donut’un deliği fincanın kulbu haline gelir. Bu iki nesne, fiziksel olarak farklı görünse de, topoloji açısından izomorftur, yani aynı temel “şekle” sahiptir.
Bu örnek, topologların bir kahve fincanı ile bir donut arasındaki farkı anlayamayacağı esprisine ilham vermiştir. Soyut uzaylar olarak bu nesneler, aslında izomorfizm yoluyla birbirinin aynısıdır. Ancak pratikte birçok topolog, “aynı” olma durumunu daha esnek bir yaklaşımla ele alır.
Bu daha gevşek “eşdeğerlik” anlayışı, homotopi-eşdeğerliği olarak adlandırılır. Homotopi eşdeğerliği, topologların daha egzotik “homotopi kategorisindeki” izomorfizm kavramını ifade etmelerini sağlar. Bu, farklı noktaları belirleyebileceğiniz başka bir sürekli deformasyon türüdür.
Bunu anlamak için şöyle bir örnek düşünün: bir pantolonla başlayıp bacakları sürekli olarak küçülttüğünüzü, sonunda tek boyutlu bir ip parçası olan bir G-string elde ettiğinizi hayal edin. Bu iki nesne fiziksel olarak çok farklı görünse de, aynı temel topolojik yapıya sahiptirler. Çünkü pantolonun iki bacağı için olan delikler, ip parçasında da hala mevcuttur. Böylece, iki boyutlu bir giysi, tek boyutlu bir ip parçasına küçültülse bile, topolojik olarak aynı kalır.
Homotopik eşdeğerliğin bir diğer büyüleyici örneği, üç boyutlu Öklid uzayının sonsuz genişliğini tek bir noktaya indirgeme fikridir.
Bu inanılmaz dönüşümü bir “ters büyük patlama” gibi düşünebilirsiniz. Evrenin her noktasındaki tüm maddeler, bir anda, başlangıçtaki o tekillik noktasına geri dönmek üzere hareket eder. Bu sürekli ve kesintisiz hareket, sonsuz bir uzayı, topolojik olarak onunla tamamen aynı olan tek bir noktaya dönüştürür.
Bu örnek, homotopi eşdeğerliğinin ne kadar esnek ve güçlü bir kavram olduğunu çarpıcı bir şekilde gösterir.
İzomorfik şeyleri birbirinin yerine koyabileceğimiz sezgisi o kadar güçlüdür ki, kategori teorisyenleri “the” kelimesini, günlük konuşma dilindeki ”a”ya daha yakın bir anlama gelecek şekilde yeniden tanımlamışlardır. Bu sayede, izomorfik olan tüm nesneler, teori açısından aynı kabul edilir ve artık “bir” nesneden bahsederler.
Bu düşünce, matematikteki birçok kavramın yeniden tanımlanmasına yol açmıştır. Örneğin, iki kümenin “ayrık birleşimi” vardır. Sıradan bir birleşimden farklı olarak, eğer A ve B kümelerinin ortak bir elemanı varsa, ayrık birleşim bu elemanın iki kopyasına sahip olur. Bu kopyalardan biri “A kümesinden geldiğini,” diğeri ise “B kümesinden geldiğini” hatırlar. Böylece, elemanların kökenini koruyarak, izomorfik yapıları bile ayırt etmemizi sağlar.
Küme teorisinin aksiyomlarını kullanarak bir ayrık birleşimoluşturmanın birçok farklı yolu vardır. Her ne kadar bu yöntemler tam olarak aynı kümeyi üretmese de, hepsi zorunlu olarak izomorfiktir, yani matematiksel olarak aynıdır.
Bu durumda, hangi yapının en “kanonik” (standart veya tekil) olduğu konusunda zaman kaybetmek yerine, bu belirsizliği göz ardı etmek daha pratiktir. Bunun yerine, istenen evrensel özelliği sağlayan herhangi bir belirli kümeyi “ayrık birleşim” olarak adlandırırız.
Bu yaklaşımın en güzel örneklerinden biri, hem tişört simetri grubuna hem de yatak çevirme grubuna “Klein dörtlü grubu” adının verilmesidir. Fiziksel olarak bambaşka olsalar da, soyut yapılarının izomorfik olması, onlara ortak bir kimlik kazandırır.
Sonsuz Boyutlu Kategoriler
Kategori teorisinin en temel teoremlerinden biri olan Yoneda Lemması’nın kökeni hakkında sıkça anlatılan bir hikaye vardır: 1954 yılında genç matematikçi Nobuo Yoneda, bu devrim niteliğindeki yardımcı teoremi, Paris’teki Gare du Nord tren istasyonunda meslektaşı Saunders Mac Lane’e anlatır. Hikayeye göre, Yoneda açıklamasına platformda başlar ve tren istasyondan ayrılmadan önce trene devam eder.
Bu lemanın sonucu basittir ama derindir: Bir kategorideki herhangi bir nesnenin kimliği, tamamen o kategorideki diğer nesnelerle olan ilişkileri (ona giden ve ondan çıkan dönüşümler) tarafından belirlenir.
Bu soyut fikri anlamak için bir topolojik uzay olan X’i ele alalım. Yoneda Lemması’na göre, X’in tüm özelliklerini, daha basit uzaylardan ona yapılan sürekli dönüşümleri inceleyerek anlayabiliriz. Örneğin:
X’in noktaları, tek bir noktadan gelen sürekli fonksiyonlara karşılık gelir.
X’in bağlantılı olup olmadığını anlamak için, bir karıncanın yürüyebileceği olası bir yörüngeyi temsil eden, [0,1] aralığından gelen sürekli “yollar”a bakabiliriz.
İlginç bir şekilde, bu mantıkla topoloji problemlerini cebir problemlerine dönüştürebiliriz. Her topolojik uzay X, kendi temel grupoidi (π1X) adı verilen ilişkili bir kategoriye sahiptir.
Bu kategorideki nesneler, uzayın noktalarıdır, dönüşümler ise bu noktalar arasındaki yollardır. Bir yol, uç noktaları sabit kalırken uzayda sürekli olarak başka bir yola dönüştürülebiliyorsa, bu iki yol aynı dönüşümü temsil eder. Homotopiler olarak adlandırılan bu deformasyonlar, yolların bileşiminin bir kategorinin gerektirdiği şekilde birleşimli (associative) bir işlem tanımlaması için hayati öneme sahiptir.
Bu yöntem sayesinde, topoloji gibi görsel ve sezgisel bir alanın karmaşık sorunlarını, cebirin soyut ve titiz dünyasında çözülebilir hale getiririz.
Temel grupoid yapısının en önemli avantajlarından biri, bir fonktör (functor) olmasıdır. Bu, topolojik uzaylar arasındaki sürekli bir f:X→Y fonksiyonunun, temel grupoidler arasında karşılık gelen bir π1f:π1X→π1Y dönüşümüne yol açtığı anlamına gelir.
Bir fonktör olarak, bu atama iki önemli özelliği korur:
Bileşimi koruma: π1(g∘f)=π1g∘π1f
Özdeşliği koruma: π1(1X)=1π1X
Topluca “fonktörlük” olarak adlandırılan bu özellik, temel grupoidin bir uzay hakkında temel bilgileri yakaladığını gösterir. En önemlisi, bu bize güçlü bir araç sunar: eğer iki uzayın temel grupoidleri eşdeğer değilse, uzayların kendilerinin de homotopi-eşdeğer olmadığını kesin olarak bilebiliriz. Bu, topolojik uzayları sınıflandırmada hayati öneme sahiptir.
Ancak temel grupoid, bir topolojik uzayı karakterize etmede mükemmel bir araç değildir. Bazı uzayları ayırt edebilirken, bazılarını ayırt edemez. Örneğin, bir çember ile bu çemberin sınırladığı katı diski kolayca ayırabiliriz.
Çemberin temel grupoidinde, iki nokta arasındaki bir yolun kaç kez çemberin etrafında dolandığını sayabiliriz. Bu “dolanma sayısı”, yörüngenin yönüne göre pozitif veya negatif bir tam sayıyla etiketlenir.
Buna karşılık, bir diskin veya bir kürenin temel grupoidinde, durum farklıdır. Bu iki uzay da “boşluğa sahip olmadığı” için, herhangi iki nokta arasındaki tüm yollar homotopiye kadar tek bir yolu temsil eder. Yani, bir diskin ya da kürenin üzerinde A noktasından B noktasına giden bir yol çizseniz bile, o yolu her zaman başlangıç noktasına geri döndürebilir ve deforme edebilirsiniz. Bu yüzden grupoid, bu nesneleri birbirinden ayırt edemez.
Temel grupoidin en büyük sorunu, noktaların (sıfır boyutlu) ve yolların (bir boyutlu) bir uzayın daha yüksek boyutlu yapısını algılayamamasıdır. Bu, bir kaşifin sadece iki boyutta hareket etmesine izin verilen bir dünyada yaşamaya benzer; mağaraların derinliğini veya dağların yüksekliğini keşfedemez.
Bu sorunun çözümü, “daha yüksek homotopiler” adı verilen yeni bir kavramda yatar. Temel grupoid gibi sadece noktaları ve yolları kullanmak yerine, iki boyutlu bir diskten, katı üç boyutlu bir küreden ve benzer şekilde daha yüksek boyutlu kürelerden gelen sürekli fonksiyonları, yani “yüksek boyutlu sondaları” dikkate alırız. Bu sayede, incelenen uzayın gizli kalmış daha karmaşık yapılarını açığa çıkarabiliriz.
Bir uzaydaki noktaların, yolların ve daha yüksek homotopilerin oluşturduğu cebirsel yapı, “temel ∞-grupoid” olarak adlandırılır. Bu π∞X yapısı, Eilenberg ve Mac Lane’in tanımladığı kategorilerin sonsuz boyutlu bir genellemesi olan “∞-kategorisinin” bir örneğidir.
Sıradan bir kategori gibi, bir ∞-kategorisinin de nesneleri ve bu nesneler arasındaki tek boyutlu okları (dönüşümleri) vardır. Ancak, aynı zamanda iki boyutlu oklar, üç boyutlu oklar ve daha yüksek boyutlu “daha yüksek dönüşümleri” de içerir. Örneğin, π∞X’te nesneler uzayın noktaları, tek boyutlu oklar yollar ve daha yüksek boyutlu oklar ise daha yüksek homotopilerdir.
Ne var ki, bu yeni yapılarla birlikte temel bir kural zayıflar. Sıradan bir kategoride, iki ok arasında benzersiz bir bileşke ok bulunur. Ancak bir ∞-kategorisinde, bileşke yasası zayıflatılmıştır. İki ok için bir bileşke ok mevcut olmalıdır, ancak bu artık benzersiz bir ok değildir; bunun yerine, sonsuz sayıda olası bileşke okundan oluşan bir aileye dönüşür.
Bu benzersizlik eksikliği, ∞-kategorilerini matematiğin klasik, küme temelli temelleriyle tanımlamayı zorlaştırıyor. Artık bileşimi, alışık olduğumuz cebirsel işlemler gibi düşünemiyoruz.
Bu zorluk, ∞-kategorilerinin genellikle uzmanlar dışında herkes için “çok karmaşık” görülmesine ve lisansüstü düzeyde bile müfredatlara düzenli olarak girememesine neden oluyor.
Ancak bu karmaşıklığa rağmen, ∞-kategorileri kuantum alan teorisinden cebirsel geometriye kadar matematiğin birçok alanında modern araştırmaların giderek daha merkezi bir parçası haline geliyor. Birçok kişi ve ben, ∞-kategorilerini, matematikçilerin aksi takdirde kesin bir şekilde ifade edilmesi ve kanıtlanması imkansız olacak yeni bağlantılar hayal etmelerini sağlayabilecek devrim niteliğinde yeni bir yön olarak görüyoruz.
Modern Matematik Terminolojisine Hızlı Bir Kılavuz
Kategori: Nesneler ve onlar arasındaki dönüşümlerin (okların) bir araya gelerek oluşturduğu, bileşim kurallarıyla belirlenmiş yapıdır.
Bileşim: Bir dönüşümü tamamladıktan sonra, sonucuna başka bir dönüşüm uygulamaktır.
Özdeşlik: Bir nesneyi hiçbir şekilde değiştirmeyen, kendisinden kendisine yapılan özel bir dönüşümdür.
Simetri: Bir nesneyi, onu temelde aynı haliyle bırakan tersine çevrilebilir bir dönüşümdür.
İzomorfizm: Bir kategorideki iki nesne arasında var olan, onların yapısal olarak aynı olduğunu belirten kavramdır. Yunanca’da “eşit biçim” anlamına gelir.
Temel Grupoid: Nesneleri bir uzaydaki noktalar ve dönüşümleri, homotopiyekadar aralarındaki yollar olan bir kategoridir.
Homotopi: Bir yolun, sürekli bir deformasyonla başka bir yola dönüştürülmesidir; bu yüzden “yollar arasında bir yol” olarak da tanımlanır.
Sonsuzluk Kategorisi: Normal bir kategorinin çok daha gelişmiş bir versiyonudur. Daha yüksek boyutlu dönüşümler ekler ve bileşim kuralı daha esnektir, yani her zaman tekil bir sonuca ulaşmaz.
Temel Sonsuzluk Grupoidi: Bir uzaydaki noktalar, yollar, homotopiler ve daha yüksek homotopilerden oluşan, son derece karmaşık bir sonsuzluk kategorisidir.
Gelecek Ufku
Tarihsel deneyimler, günümüzün en karmaşık matematiğinin bile gelecekte lisans öğrencilerine öğretilebilecek kadar kolay hale geldiğini gösteriyor. Bu düşünceyle, ∞-kategorileri için de benzer bir geleceği hayal edebiliriz.
Bunun anahtarı, bileşim kavramını yeni bir şekilde ele almaktır. Sıradan bir kategoride, f:X→Y ve g:Y→Z gibi birleşimli her ok çifti için, benzersiz bir bileşik dönüşüm (g∘f:X→Z) vardır. Bu, matematiğin kesinliğine alışkın olduğumuz bir kuraldır.
Ancak bir ∞-kategorisinde, bu kural yerini daha esnek bir yaklaşıma bırakır. X’ten Z’ye giden tek bir bileşik ok yerine, bir “oklar uzayı”bulunur. Bu uzay, “büzülebilir” (contractible) olduğu için, içindeki her bir nokta, daha önce tartıştığımız ters büyük patlama benzetmesiyle, sürekli olarak tek bir başlangıç noktasına çökebilir.
Bu yeni düşünce biçimi, geleceğin öğrencilerine, her ne kadar farklı görünüyor olsalar da, bir ∞-kategorisindeki tüm olası bileşimlerin temelde “aynı” olduğunu anlamalarını sağlayacaktır. Bu, ∞-kategorilerini günümüzün sıradan kategorileri kadar doğal ve anlaşılır bir hale getirebilir.
Bu noktada önemli bir ayrımı netleştirelim: büzülebilirlik, tek bir benzersiz bileşik olduğu anlamına gelmez. Aksine, temel ∞-grupoidinde gördüğümüz gibi, birden fazla bileşik yol bulunabilir.
Ancak büzülebilirlik, bu bileşikler arasındaki tutarlılığı garanti eder. Bu, bir tür katmanlı “aynılık” yaratır:
İlk olarak, herhangi iki bileşik yol birbirine homotopiktir. Yani, birini diğerine sürekli olarak deforme edebiliriz.
İkinci olarak, bu iki yolu birbirine bağlayan herhangi iki homotopi bile birbiriyle eşittir; bunlar da bir daha yüksek homotopi ile birbirine bağlanır.
Bu katmanlı “aynılık” anlayışı, ∞-kategorilerinin kalbinde yatan ve ne kadar karmaşık görünürse görünsün, temelinde şaşırtıcı derecede tutarlı ve tekdüze bir yapıya sahip olduğunu gösteren temel bir ilkedir.
Benzersizliğin bir tür büzülebilirlik koşulu olduğu fikri, Vladimir Voevodsky gibi öncü matematikçilerin önerdiği yeni bir matematik temel sisteminin merkezinde yer alıyor.
Bu devrim niteliğindeki yaklaşım, günümüzde bilgisayar tabanlı “kanıt yardımcıları” ile somutlaşıyor. Bu programlar, bir matematiksel sonucun biçimsel kanıtını satır satır kontrol edebilecek şekilde tasarlanmıştır. Bunu yaparken, matematikteki yaygın bir uygulamayı taklit ederler: bir şey hakkındaki bilgiyi, izomorfizm veya homotopi-eşdeğerliği yoluyla aynı olduğu anlaşılan başka bir şeye aktarma.
Bu mekanizma, kullanıcıların bir uzaydaki bir noktayı içeren bir kanıtı, o noktayı başka herhangi bir noktaya bağlayan bir yol boyunca taşımasına olanak tanır. Böylece, “aynılık” kavramının topolojik bir formülasyonunu sunarak, matematiğe yeni ve esnek bir bakış açısı getirir.
Matematikçi Michael Atiyah, 1974 yılında, bir teorinin amacını “geçmiş deneyimleri sistematik bir şekilde düzenleyerek gelecek nesillerin temel unsurları olabildiğince zahmetsiz bir şekilde özümsemesini sağlamak” olarak tanımlamıştı. Bu, herhangi bir bilimsel etkinliğin kümülatif olarak gelişebilmesinin tek yoludur.
Modern matematikte bu rolü, şüphesiz kategori teorisi üstlenmiştir. Eğer matematik, analojilerin ve örüntülerin bilimi ise, kategori teorisi de bu matematiksel düşünce örüntülerinin kendisini inceler. Bu nedenle, Chicago Sanat Enstitüsü Okulu’ndan Eugenia Cheng’in çarpıcı ifadesiyle, kategori teorisi “matematiğin matematiği”dir.
Günümüzde bir lisans dersinde bu kadar çok konuyu ele alabilmemizin temel nedeni, matematiksel kavramların soyutlama yoluyla basitleştirilmesidir. Bu süreç, ele alınan belirli problemden geri adım atmak ve matematiğe daha geniş bir bakış açısıyla yaklaşmaktır.
Bu yüksek soyutlama seviyesinden, sayılar veya sayısal yaklaşımlar gibi birçok ince ayrıntı görünmez hale gelir. Ancak tam da bu sayede, daha derin bir gerçek ortaya çıkar: cebir, kümeler kuramı, topoloji ve cebirsel geometri gibi farklı alanlardaki teoremlerin bazen aynı temel nedenden dolayı doğru olduğu görülür.
Bu şaşırtıcı bağlantılar ve ortak kanıtlar, kategori teorisi diliyle ifade edilir. Kategori teorisi, matematiğin farklı disiplinlerini birleştiren evrensel örüntüleri ve yapıları görmemizi sağlar.
Peki, ufukta ne var? Matematiğin belirli alanlarında yükselen fikir birliği, 21. yüzyıl matematiksel nesnelerinin doğal yaşam alanlarının, tıpkı 20. yüzyıl matematiksel nesnelerinin sıradan kategorilerde yaşaması gibi, ∞-kategorileri olduğu yönündedir.
Umut, bu baş döndürücü ok kulesi gibi görünen karmaşıklığın, bir noktada kolektif matematiksel bilinçaltının arka planına çekilmesidir. Tıpkı bugün birleşim ve özdeşlik aksiyomlarını düşünmeden kullanmamız gibi, gelecekteki matematikçiler de her daraltılabilir seçenek alanının benzersiz bir noktaya çöktüğünü sezgisel olarak bilecektir.
Tüm bunlar göz önüne alındığında, insan şu soruyu kendisine sormadan edemiyor: 20. yüzyılda bu kadar büyük bir ilerleme kaydedildiyse, 21. yüzyılın sonunda matematik nerede olacak?
Comments